Números decimales periódicos
Leonardo Euler nació en Basilea (Suiza) en 1707.
Su padre, pastor calvinista, se preocupó de que la formación intelectual de su hijo fuese de gran calidad. Leonardo estudió matemáticas con Jean Bernoulli, física, astronomía, medicina, teología y lenguas orientales.
En 1727, animado por sus amigos y compatriotas Daniel y Nicolás Bernoulli, ingresó en la Academia de San Petersburgo. En 1730 ocupó la cátedra de filosofía natural y a los veintisiete años, después de que Nicolás y Daniel dejasen San Petersburgo, se convirtió en el matemático más relevante de la Academia. A los veintiocho años perdió la vista de su ojo derecho.
En 1741 se incorporó a la Academia de Berlín, pero en 1766 volvió a Rusia. En 1771 se quedó ciego pero ello no impidió que Euler siguiera publicando e investigando.
Leonhard murió en 1783 mientras se estaba tomando una taza de té y jugando con uno de sus nietos.
Se cuenta que cuando el filósofo ateo D. Diderot visitó la corte rusa fue informado de que un matemático suizo había demostrado la existencia de Dios mediante razonamientos de tipo algebraico. Interesado por dicha noticia y esperando rebatir tales argumentos, Diderot concertó una entrevista con Leonardo. Puesto en contacto con Euler, éste le dijo: “Señor (a + bn)/n = x, entonces Dios existe”. Diderot, cuyos conocimientos de álgebra eran nulos, se quedó sin respuesta y regresó a Francia.
Euler escribió sobre temas relativos a todas las ramas de las matemáticas. A lo largo de su vida publicó más de quinientos libros y artículos y fue padre de trece hijos.
Entre sus numerosísimas contribuciones destacamos las referentes al simbolismo matemático. Así, Euler introdujo el símbolo e para la base de los logaritmos naturales; p para la razón de la circunferencia al diámetro; i para la unidad imaginaria; a, b, c para los lados de un triángulo; A, B, C para los ángulos de un triángulo; ∑ para la suma; f(x) para una función de x.
En geometría elemental es famosa su fórmula c + v = a + 2, que relaciona el número de caras (c), vértices (v) y aristas (a) de cualquier poliedro convexo.
La expresión eπi + 1 = 0, que aparece en su Introductio in analysin infinitorum (1748), incluye los cinco números más importantes de las matemáticas.
Además de sus numerosas aportaciones a las Matemáticas, Euler también escribió algunos manuales para la enseñanza de esta disciplina dirigidos a un público no matemático. Así, en 1738 publicó un libro sobre aritmética elemental (Einleitung zur Rechenkunst) para los escolares de San Petersburgo.
Más tarde vieron la luz sus famosos Elementos de Álgebra que, sin duda alguna, pueden incluirse entre los textos más famosos y populares del siglo XVIII. Exceptuando los Elementos de Euclides, es el libro de Matemáticas con mayor difusión de todos los tiempos. El original fue escrito en alemán sobre el año 1765. No obstante, se publicó por primera vez en dos volúmenes por la Real Academia de Ciencias de San Petersburgo como una traducción rusa (1770).
El objetivo de Euler al redactar esta obra fue que cualquier aprendiz, sin otra ayuda, pudiera convertirse en un maestro de Álgebra.
En las líneas que siguen, respetando la numeración de los parágrafos del texto original, presentamos un procedimiento para el cálculo de la fracción generatriz de un número decimal periódico puro, contenido en los Elementos de Álgebra.
§531
Se puede probar de una manera todavía más fácil que la fracción decimal que hemos encontrado1 es exactamente igual a 1/7, dado que designando su valor por la letra f se tiene que:
f = 0,142857142857142857 etc.
10f = 1, 42857142857142857 etc.
100f = 14, 2857142857142857 etc.
1000f = 142, 857142857142857 etc.
10000f = 1428, 57142857142857 etc.
100000f = 14285, 7142857142857 etc.
1000000f = 142857, 142857142857 etc.
Restando f = 0,142857142857142857 etc.
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999999f = 142857
Y dividiendo por 999999, tendremos que f = 142857 / 999999 = 1/7.
Entonces, la fracción decimal que era = f, es = 1/7.
§537
Hay un gran número de fracciones decimales en las que una, dos o más cifras se repiten constantemente y prosiguen de esta manera hasta el infinito (...).
Supongamos, en primer lugar que sólo se repite una cifra, a la que designaremos por a, de modo que f = 0,aaaaaaa. . . Entonces, tendremos que:
10f = a,aaaaaaa. . .
y restando f = 0,aaaaaaa. . .
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tendremos 9f = a; por tanto f = a/9
Cuando se repiten dos cifras, digamos ab, se tiene f = 0,abababab... Entonces, 100f = ab,ababab..., y si se le resta f, queda 99f = ab. Por tanto, f = ab/99.
Cuando se repiten tres cifras, como abc, tenemos f = 0,abcabcabc... Por consiguiente, 1000f = abc,abcabcbabc..., y restándole f queda 999f = abc. Luego, f = abc/999. Y así sucesivamente.
Referencias bibliográficas:
EULER, L. (1795). Élémens d’algèbre (traduits de l’allemand, avec des notes et des additions). Lyon: Bruyset.
Nota:1 Se refiere al número decimal periódico puro 0,142857142857142857....
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