Sale un tren de Madrid a 50 Km/h hacia Sevilla. Tres horas y media (es decir, cuando el tren está a 175 Km) sale otro tren en la misma dirección hacia Sevilla en la misma vía pero a una velocidad de 75 Km/h.
Pero no sólo eso. Una mosca casi supersónica sale volando a una velocidad de 100 Km/h desde el segundo tren al primero. Cuando llega el primero, la mosca da la vuelta y vuelve al segundo, así hasta que los dos trenes se chocan.
Pregunta...
¿Cuántos Km recorre la mosca?
Suponemos que la mosca no se cansa y vuela siempre a 100 Km/h, además no pierde tiempo en los giros y las velocidades de los trenes es siempre constante.
3 comentarios:
Primera solución...
Podemos calcular cuanto tiempo le llevaría alcanzar al primer tren a la mosca. Para ello calculamos la velocidad relativa de la mosca con el tren:
100 Km/h (de la mosca) - 50 Km/h (del tren) = 50 Km/h.
Esta es la velocidad con la que la mosca se aproximará al primer tren. ¿Y cuánto le lleva a la mosca recorrer la distancia que los separa? Igual de sencillo...
175 Km (que les separan) / 50Km/h (velocidad relativa) = 3.5 h
Es decir, la mosca tardará 3 horas y media en llegar al primer tren. Si alguien está pensando que no puede ser tan sencillo porque el tren 1 está en movimiento, lo contaré de otra forma.
El movimiento es relativo (esto es viejo, ya lo dijo Galileo, lo formalizó Newton y lo generalizó Einstein). Esta afirmación tiene muchas implicaciones, pero una de ellas muy sencilla y evidente es la adición de velocidades (la que voy a presentar en ejemplos sólo es válida para velocidades muy inferiores a la velocidad de la luz; es nuestro caso).
La velocidad a la que se cruzan dos coches que viajan en sentidos contrarios a 60 Km/h es 120 Km/h
La velocidad a la que se cruzan dos coches, uno parado y el otro viajando a 120 Km/h es 120 Km/h
La velocidad a la que se cruzan dos coches que viajan en sentidos contrarios, uno a 100 Km/h y el otro a 20 Km/h es 120 Km/h
En vez de intentar calcular cuanto espacio se mueve el tren hasta que la mosca llegue, que es un problemón, podemos parar el primer tren y hacer que la mosca vuele a la misma velocidad relativa con este tren. El tren viajaba a 50 Km/h y la mosca a 100 Km/h. Luego la mosca se aproxima al tren a una velocidad de 50 Km/h. A este ritmo de aproximación ¿cuánto tiempo tardará la mosca en alcanzar el tren? La distancia entre la velocidad, que es lo que pusimos.
¿En estas 3 horas y media cuánto espacio recorre la mosca? La suma de los espacios recorridos por la mosca es lo que nos pide el problema.
espacio = velocidad * tiempo espacio recorrido por mosca = 100 Km/h * 3.5 h = 350 Km
Ya tenemos la primera distancia. Ahora la mosca da la vuelta y tenemos que calcular la segunda distancia. Pero... Los trenes en este momento han cambiado de posición (puñeteros...)
Sus nuevas posiciones serán las antiguas más la distancia recorrida en estas 3 horas y media... Resumo todo esto en una tabla que he hecho con una hoja de cálculo (tabla eliminada).
¿Cuántas sumas tenemos que hacer hasta encontrar el resultado? Infinitas. Es como uno de los problemas de Zenón, en el que proponía calcular la distancia en que una flecha alcanzaría la diana, sumando la distancia intermedia, más la intermedia de la intermedia, más la intermedia de la intermedia de la intermedia, así hasta el infinito. Y la pregunta es... ¿como una suma de infinitas distancias me puede dar una suma finita (que es la distancia del arquero a la diana)? Esto pertenece a la rama del análisis matemático. Todo esto se basa en el límite y esta rama de las matemáticas fue creada por Newton y Leibnizt al mismo tiempo. (Aunque antes otros hicieron algún pinito con estos problemas. Arquímedes calculó por exhausción el área encerrada por una parábola 2000 años antes de la formalización de esta rama. Fermat hizo cosas tan importantes unos años antes, que parece que utilizaron algunas de sus ideas).
No me voy a meter a sumar los infititos términos, ni siquiera a demostrar que la suma de estos infinitos términos da un número concreto (es decir que es convergente). No voy a ser formal y vamos a verlo más con intuición que con rigor.
Aparentemente esto converge a 700, a partir del paso 46, la diferencia con 700 es menor de un milímetro. Además en cada paso, la diferencia con el paso anterior es menor que la diferencia del anterior con el anterior.
Vamos que sin demostrarlo formalmente, juraría que esto converge a 700. Mira estos dibujos (eliminados)
Podemos concluir por tanto que la solución es 700, aunque no hagamos una demostración.
Segunda solución...
Con el mismo truco que utilizamos para calcular el tiempo que la mosca recorría en la primera ida y sucesivas... podemos ir más allá y calcular el tiempo que tardarán los trenes en encontrarse. Veamos:
Velocidad relativa de los trenes... 75 Km/h -50 Km/h = 25 Km/h
Tiempo en recorrer la distancia inicial que les separa (cuando la mosca empieza a volar), recuerdo que la distancia inicial era de 175 Km
t = s/v 175 Km / 25 Km/h = 7 horas
Los trenes tardarán 7 horas en encontrarse. ¿Qué distancia recorrerá la mosca en estas 7 horas?
s = v t 100 Km/h * 7 h = 700 Km
Y voalá, tenemos la solución exácta y calculada formalmente, no de forma intuitiva ni aproximada. ¿Muy sencillo verdad?
Cuarta solución...
¿Cómo, que todavía pueden haber más soluciones?
Partamos de la solución 2.
7 horas, ni más ni menos que 7 horas le lleva al segundo tren alcanzar al primero. Pero en esas 7 horas el primer tren habrá recorrido 350 Km que acumulados a la situación inicial son 525 Km.
Pero Sevilla no está tan lejos. Y como los trenes iban hasta Sevilla, al llegar el primero, se parará. Esto cambia mucho las cosas. Necesitaríamos saber la distancia hasta Sevilla por tren. La podríamos buscar y resolver el problema en dos fases. Primera, los dos trenes en movimiento, y segunda, con el primer tren parado porque ya habrá llegado. Así que podemos concluir que la solución de 700 Km no es correcta. O mejor...
¿El problema no hablaba de los trenes chocándose? Pues no se chocan porque el primero llega a su destino antes. Es decir, no se llega a la situación final del problema y por tanto no tiene solución.
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