jueves, septiembre 23, 2010

let's make a deal el problema de monty hall

Una simulación del problema

http://math.ucsd.edu/~crypto/cgi-bin/MontyKnows/monty2?1+6415

http://www.letsmakeadeal.com/

http://www.historiasdelaciencia.com/?p=502/#comment-12910

http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem

Los que tenemos ya una edad y superamos las cuarenta primaveras tenemos en la memoria el programa Un, dos, tres, responda otra vez. Si no lo recordáis o no lo conocéis, no pasa nada. Recuerdo que había un juego en el que al concursante le presentaban tres puertas. Tras una de ellas había un coche. El concursante escogía una (digamos, la 1). Entonces, el presentador le mostraba otra puerta tras la cual no estaba el coche (digamos, la 2). Entonces le decían: ¿quiere Ud. cambiar de puerta? O sea, podía seleccionar la 1, que es la que había escogido al principio, o la 3. ¿Debía el concursante cambiar o no? ¿Hay alguna diferencia?

Mucho más tarde, me enteré que este problema es conocido como Problema de Monty Hall y que en realidad, no era una cuestión del programa español, sino de otro llamado “Let’s make a deal”, que funcionó desde 1963 hasta 1990. A los creadores de este programa debió dejarles perplejos que después de emitir unos 4.500 programas durante 28 años, el legado principal fuera esta cuestión.

Y es que con la respuesta han llovido ríos de tinta. Está claro que, si no cambiamos, la probabilidad de que acertemos la puerta correcta es 1/3. El hecho de que nos enseñen una puerta donde no está no hace que dichas probabilidades cambien. La cuestión es que una vez que nos han enseñado esa puerta vacía, si cambiamos, el problema es otro, pues escogemos con una información que no teníamos al principio: ¿cuál sería su elección entre tres puertas si sabemos que el coche no está en la 2, por ejemplo?

Hubo muchos que dijeron que había que cambiar porque al inicio, la probabilidad de acierto era 1 entre 3; pero después, como sólo quedaban dos puertas, en el caso de cambiar, la probabilidad de acertar era 1 entre 2, o sea, un 50% de posibilidades en lugar del 33%. Por ello, el cambio era recomendable.

Por lo menos, parecía ser así hasta que entró en escena una mujer llamada Marilyn vos Savant ¿No la conocéis? Es la mujer que tiene el Coeficiente Intelectual (CI) más alto del mundo, con una puntuación de 228. Consta, incluso, en el libro Guinness de los Récords desde el año 1986. También es famosa por estar casada con Robert Jarvik, inventor del corazón artificial Jarvik. Pero la fama al gran público llegó por otro lado.

Tenía una columna en la revista Parade llamada “Ask Marilyn” y le plantearon esta cuestión. La amiga Marilyn contestó que, efectivamente, debía cambiar pero nuesta probabilidad de acierto no sería del 50%, sino del 66%, o sea, de 2/3.

Bueno los lectores de su columna casi se volvieron locos. Recibió unas 10.000 cartas en las que le corregían o se sentían defraudados por fallar en una pregunta tan sencilla. Entre las cartas había unos 1.000 matemáticos (muchos de ellos, doctores). Era tan evidente: había dos puertas, ¿no? pues una posibilidad entre dos era un 50%. ¿Qué podía haber más sencillo? Uno de ellos, un matemático, escribió un contundente la jodiste:

Deja que me explique: si se enseña una puerta perdedora, esa información cambia la probabilidad de cualquier elección mantenida, ninguna de las cuales tiene ninguna razón para ser más probable a 1/2. Como matemático profesional, estoy muy preocupado por la falta de habilidad matemática del público general. Por favor, ayuda confesando tu error y, en el futuro, sé más prudente.

Pero Marilyn siguió en sus trece. Otros matemáticos de otras universidades también escribieron:

Estoy conmocionado después de haber sido corregido por al menos tres matemáticos, tú todavía no ves tu error.

¿Cuántos matemáticos furiosos se necesitan para cambiar tu opinión?

Si todos esos doctores están equivocados, el país se encontraría en serios problemas.

Incluso el grandísimo Paul Erdös dijo: “Esto es imposible”.

Solo cuando se hicieron simulaciones por ordenador y se vio el resultado, Erdös aceptó que estaba equivocado. Pero un momento, ¿cómo era posible que todo el mundo, salvo Marilyn, dijera el 50% y las simulaciones dieran un 66%? ¿Acaso tenía razón Marilyn? ¿Estaba entonces el país en serios problemas como advertía aquel matemático?

En realidad, el problema ya había sido resuelto por Martin Gardner en 1959 (ver elcomentario de Jordi Solà). Voy a intentar explicaros por qué Marilyn tenía razón y aquel montón de gente se equivocaba. Normalmente, cuando alguien intenta explicarlo, lo hace calculando la probabilidad de acierto. Yo voy a hacer lo contrario: voy a imaginar que sé dónde está el coche y ver en cuál de las casillas acierto. Con este punto de vista, la explicación es casi evidente.

Vamos a imaginar que el coche está en la puerta 1 y consideremos las tres posibilidades: que escojamos la puerta 1, la 2 o la 3 y que siempre cambiaremos la puerta después de que nos enseñen la que no lo tiene.

Estado inicial

1.- Escogemos la puerta 1.

Escogemos la puerta 1

En ese caso, el presentador nos enseña la puerta 2 o la 3 (puertas sobre las que hay un círculo verde), cualquiera de ellas, ya que el coche no está allí. Nosotros cambiamos y perdemos. Resumiendo: si seleccionamos la 1 y cambiamos, perdemos.

2.- Escogemos la puerta 2.

Escogemos la puerta 2

En ese caso, el presentador no puede enseñarnos la puerta 1, ya que destrás está el coche; y no puede mostrarnos la puerta 2, pues la hemos escogido. Por tanto, debe enseñarnos la puerta 3 (marcada con el círculo verde), puesto que allí no está el coche.

Nosotros cambiamos a la que queda, o sea, la 1 y ganamos. Resumiendo: si seleccionamos la 2 y cambiamos, ganamos.

3.- Escogemos la puerta 3.

Escogemos la puerta 3

Ahora, el presentador sigue sin poder enseñarnos la puerta 1, y la 3 tampoco, puesto que es la que hemos seleccionado. Sólo puede mostrarnos la 2 (sobre la que está el círculo verde), pues el coche no está allí. Nosotros cambiamos a la 1 y ganamos. Resumiendo: si seleccionamos la 3 y cambiamos, ganamos.

¿Os habéis dado cuenta? Veamos, partiendo de la premisa de que hacemos el cambio de puerta:

Si al principio seleccionamos la 1 y cambiamos, perdemos.

Si al principio seleccionamos la 2 y cambiamos, ganamos.

Si al principio seleccionamos la 3 y cambiamos, ganamos.

Este razonamiento lo podría repetir tanto si el coche está tras la puerta 2 o la puerta 3, pues la posición de la que partimos donde está el coche es indiferente. Sí, cambiaría los números de las puertas, pero la conclusión sería la misma: en dos puertas ganaríamos el juego y en una perderíamos.

Por tanto, ¿no es, acaso, una probabilidad de 2 entre 3 de ganar? Parece que, después de todo, la señora Marilyn tenía razón, ¿no?

Existen simulaciones por en las que se hace una estadística de aciertos en esta página. Y por si no he sido suficientemente claro, tenéis otra explicación (con un poco más de parafernalia técnica) en esta otra página.

Y es que, en ciencia, no cuenta el número de personas que estén a favor o en contra de una argumentación. Y tampoco ganan quienes más gritan o quienes son más elocuentes. Ya lo dijo nuestro Santo Padre Galileo Galilei:




#2.- Enviado por: Iñaki

EL DÍA 21 DE SEPTIEMBRE DE 2010 A LAS 19:49

Había oído la anécdota, pero ¿realmente pasó así o es una exageración alimentada con el paso de los años? Es que se me hace increíble que hubiera un solo matemático que fallase de esa manera en una cuestión tan simple.

No obstante, cuando ha salido alguna vez el tema en alguna conversación, siempre queda algún incrédulo. En esos casos, siempre pongo el siguiente ejemplo:

Imagina que el juego consta de 1.000.000 de puertas. Tras una de ellas hay un premio, en el resto, nada. Eliges una puerta y acto seguido abren 999.998 puertas tras las que no hay nada. Así, quedan dos cerradas: la tuya y otra. ¿Cambias o no cambias?



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